Neste trabalho, estamos interessados em apresentar alguns Métodos Variacionais, juntamente com aplicações, que determinam existência e a não unicidade de soluções fracas para uma específica Equação Diferencial Parcial Elíptica envolvendo um peso exponencial e uma não linearidade que apresenta crescimento exponencial crítico. Em um primeiro momento, para uma maior comodidade do leitor, estabelecemos provas detalhadas de alguns resultados clássicos da teoria que estabelece esses métodos como, por exemplo, os Teoremas da Deformação e do Passo da Montanha; e o Princípio Variacional de Ekeland. Em seguida, trabalhamos com uma Desigualdade do tipo Trudinger-Moser em um Espaço de Sobolev com peso exponencial com o objetivo de alcançarmos nossa meta.