Esta dissertação tem como objetivo o estudo das órbitas periódicas simétricas em perturbações simétricas do problema de Kepler no plano. O estudo começa com uma introdução aos sistemas Hamiltonianos, coordenadas simpléticas e ao problema de Kepler. Em seguida, explora o uso das reflexões em relação aos eixos coordenados (simetrias) para encontrar soluções em problemas Hamiltonianos.

O foco principal é estabelecer condições suficiente para a existência de soluções periódicas em perturbações simétricas do problema de Kepler, incluindo o problema de Kepler em coordenadas giratórias. Utilizando o método de continuação analítica de Poincaré, a dissertação estabelece condições suficientes para obter soluções periódicas simétricas próximas às soluções elípticas ou circulares dos problemas de Kepler não perturbados.

Além disso, a dissertação apresenta duas aplicações práticas para os resultados obtidos. A primeira aplicação envolve um problema perturbado do problema de Kepler que descreve a interação entre átomos, considerando um potencial Coulombiano com carga negativa e um potencial de Buckingham anisotrópico generalizado, onde a anisotropia é tratada como um pequeno parâmetro perturbador. A segunda aplicação aborda o problema de uma partícula atraída pela força gravitacional de um disco circular massivo não homogêneo em rotação constante. Este problema é descrito como uma perturbação do problema de Kepler em coordenadas giratórias, onde o raio é tratado como um parâmetro perturbador.

A dissertação contribui para o entendimento das órbitas periódicas simétricas em sistemas gravitacionais perturbados e tem aplicações importantes em áreas como a dinâmica celeste.

Essa dissertação tem como objetivo realizar um estudo detalhado das potências simbólicas de ideais puros sobre anéis noetherianos, e seus impactos na álgebra comutativa. Iniciamos apresentando tal conceito, em paralelo com algumas propriedades e exemplos mais elementares. Veremos algumas aplicações famosas do uso dessa ferramenta poderosa, tais como o Teorema do Ideal Principal de Krull, e o exemplo apresentado por D. Rees para responder a generalização dada por O. Zariski para o 14º Problema de Hilbert. Por fim, estudaremos algumas classes de ideais como os ideais secantes e os ideais de arestas, e suas contribuições para a determinação de geradores para as potências simbólicas, bem como o fator de inversão de aplicações birracionais.

Nesta dissertação, estudamos a equação do calor com o operador de Grushin. Exibimos uma expressão para o núcleo do calor do operador de Grushin e obtemos propriedades regularidade e decaimento em espaços Lp tanto para o núcleo quando para o semigrupo associado ao operador de Grushin. Em seguida, utilizamos os resultados encontrados para provar existência, unicidade, dependência contínua e uma alternativa de blowup para soluções brandas para um problema de Cauchy não linear associado à equação do calor com o operador de Grushin.

Um importante invariante associado a um módulo graduado é a função de Hilbert. Através dele surgem outros invariantes, tais como o polinômio e a série de Hilbert. Um fato notável sobre esses três conceitos é que eles se relacionam com diversas outras informações do módulo graduado, a exemplo da dimensão de Krull, multiplicidade, resolução livre graduada, etc. Nesse trabalho de dissertação nosso objetivo é estudar propriedades sobre a função, o polinômio e a série de Hilbert bem como apresentar a conexão desses conceitos com outros como os já mencionados.

Nessa dissertação, temos como propósito estudar a forma normal de Gustavson de um sistema Hamiltoniano nos casos degenerado e não degenerado e aplicar os casos em que função Hamiltoniana possui um grau de liberdade e inicia com termos de terceira ou quarta ordem no estudo da estabilidade de soluções de equilíbrio. Para atingir nosso objetivo, incluímos um capítulo de preliminares onde fornecemos a teoria básica dos sistemas Hamiltonianos, transformações simpléticas e funções geradoras, além de alguns conceitos básicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Abordamos a teoria clássica da forma normal de Gustavson e de Birkhoff nos casos não degenerados em que a matriz do sistema linearizado é diagonalizável e os autovalores imaginários puros, além disso fornecemos alguns resultados recentes nos casos de sistemas com um grau de liberdade em que a função Hamiltoniana é representada como uma série de potências iniciando com termos cúbicos ou de quarta ordem. Em ambos os casos, a técnica principal consiste em obter uma transformação simplética dada por uma função geradora a fim de simplificar a estrutura dos termos de maior ordem da função Hamiltoniana. No final, usaremos as formas normais para obter algumas condições para a estabilidade de soluções de equilíbrio no caso de sistemas degenerados com um grau de liberdade.

Esta dissertação tem como principal objetivo fornecer condições necessárias e sufcientes para estabilidade normal de um sistema Hamiltoniano com n graus de liberdade e aplicá-las no estudo da estabilidade dos pontos de libração L4 e L5 do problema restrito espacial circular dos três corpos. Para atingir nosso objetivo, incluímos um capítulo de preliminares, onde fornecemos a teoria báica de sistemas Hamiltonianos autônomos com n graus de liberdade, noções de transformações simpléticas, fornecendo definiçoes e resultados relevantes, os conceitos de pontos de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais ordinárias, apresentando a noção de estabilidade no sentido de Lyapunov, como também os sistemas lineares com coefcientes constantes, o método direto de Lyapunov para o estudo daestabilidade e a teoria da forma norma de Lie. No capítulo 2 abordamos um novo conceito de estabilidade chamado de estabilidade normal de sistemas Hamiltonianos lineares, onde provamos várias condições necessárias e suficientes, dentre elas uma nova condição sobre parte quadrática da função Hamiltoniana denominadade condição de Moser-Weinstein. Apresentamos no último capítulo o problema restrito circular espacial dos três corpos, onde estudamos a estabilidade linear dospontos de libração L1, L2, L3, L4 e L5, e no caso de L4 e L5 fornecemos condições para a estabilidade normal do sistema linearizado, que implica numa estabilidade formal do sistema não linear.

Nessa dissertação estudamos as álgebras de explosão de ideais monomiais em anéis de polinômios em três variáveis. Trabalhamos com a hipótese de que a matriz de sizígias desses ideais é do tipo Hilbert-Burch com entradas lineares e que a quantidade de primos mínimos é 2. Com essas hipóteses provamos que a matriz de sizígias possui um formato canônico. Finalmente, discutimos as álgebra de explosão com maiores detalhes para alguns formatos canônicos bem estruturados.

Neste trabalho, estudamos existência, unicidade e dependência contínua de soluções de uma classe de equações diferenciais parabólicas semilineares. A abordagem utilizada foi teoria de semigrupos, operadores setoriais e potência fracionária de operadores.

Nesta trabalho dissertamos sobre resultados do tipo Liouville para equações envolvendo operadores elípticos da forma não divergente e suas aplicações. Para tal utilizaremos uma abordagem recente do tema que relaciona a existência de soluções positivas de equações elípticas em R^N ao scalling da equação, a homogeneidade da solução fundamental associada ao operador elíptico e a existência e finitude do primeiro autovalor associado ao operador elíptico.

Nesta dissertação, nosso objetivo é apresentar uma breve introdução à Teoria de Regularidade para soluções de equações Elípticas Não-Locais. O trabalho está dividido em três capítulos onde dissertamos três grandes artigos de Caffarelli e Silvestre. A ideia é apresentar a versão Não-Local da teoria existente para operadores Uniformemente Elípticos e trazemos importantes resultados como uma estimativa ABP, um princípio de comparação, estimativas Hölder C^\alpha e C ^{1,\alpha}, resultados de regularidade por aproximação e uma versão do teorema de Evans-Krylov para soluções de uma equação Íntegro-Diferencial cujo operador associado é côncavo.

Neste trabalho estudamos integrais oscilatórias do primeiro tipo e via o método estacionário mostramos decaimento ótimo da transformada de Fourier de medidas cujo o suporte pertence a superfícies suaves com $m$ curvaturas principais não-nulas. Usamos este decaimento para mostrar teoremas de restrição de Fourier em superfícies compactas e superfícies quadráticas. Usando estas ideias, mostramos estimativas lineares de Strichartz em $L^p$ para a equação da onda e de Schrödinger. Finalizamos a dissertação com as estimativas bilineares de Strichartz para mostrar o caso ``end-point'' do ponto sharp admissível $P=(2,\frac{2\sigma}{\sigma -1})$ para um grupo $\{U(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ de evolução dispersivo. Consequentemente, provamos o caso ``end-point'' das estimativas de Strichartz homogênea de Schrödinger e da onda para dimensões altas, a saber, $n\geq 4$.

O estudo de equações diferenciais é um campo extenso da matemática tendo inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras áreas do conhecimento. Com o intuito de introduzir uma abordagem puramente algébrica, flexível e elegante à teoria clássica bem conhecida das equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes, neste trabalho faremos um estudo sobre anel de funções simétricas e séries de potências formais e aplicaremos esses conceitos no desenvolvimento de um método algébrico com o qual seremos capazes de obter a solução de um problema de valor inicial considerando que estas equações tenham coeficientes contantes em uma Q-álgebra qualquer. A generalidade do método aqui apresentado permite o desenvolvimento de eficientes implementações computacionais para obter boas representações das soluções, independentemente da ordem da equação.

Esta dissertação tem por objetivo estudar os anéis de Gorestein, provando algumas de suas propriedades e caracterizações, bem como seu papel na teoria de dualidade, finalizando com o teorema de Groethendick. Iniciamos com um estudo detalhado dos módulos projetivos e injetivos. Estabelecemos o conceito de profundidade de um módulo e investigamos sua relação com sua dimensão. Definimos os anéis e módulos Cohen-Macaulay, abordando suas propriedades gerais. Analisamos alguns anéis Cohen-Macaulay especiais, como os anéis regulares e os anéis de interseção completa. Por fim, estudamos os anéis de Gorestein e desenvolvemos a teoria de dualidade, provando alguns teoremas clássicos como o teorema da dualidade de Matlis e o de Groethendick.

Neste trabalho, estudamos congruências de retas, que podem ser definidas como sendofamílias a 2-parâmetros de retas no espaço, ou ainda como o par {r(u,v), X(u,v)}, onder(u,v) é um ponto numa superfície, dita superfície diretora da congruência e X(u,v) umvetor. Dada uma congruência, associamos a cada reta da congruência duas superfíciesregradas que a contêm, chamadas de superfícies principais através dessa reta. As curvasdiretrizes das superfícies principais estão sobre a superfície diretora da congruência esatisfazem uma equação diferencial binária, que é chamada de equação das superfíciesprincipais. Além disso, definimos duas formas quadráticas, ditas formas quadráticas deKummer e os parâmetros (u,v) para os quais os coeficientes das formas de Kummer sãoproporcionais determinam na superfície diretora o que chamamos de singularidadesumbílicas da congruência. Nosso objetivo é considerar a congruência gerada pela restriçãode um campo da forma X(x,y,z) = (Rx, Sy, Qz) ao elipsoide de três eixos distintos eestudar o comportamento das curvas integrais da equação das superfícies principaispróximas das singularidades umbílicas da congruência.

Uma hipersupefície de uma variedade, ambas com fronteira não vazia, é chamada de hipersupefície com fronteira livre se é ponto crítico do funcional área restrito a todas as variações admissíveis que preservam volume. Uma variação é dita admissível se a fronteira e o interior da variedade contém as fronteiras e os inteiores das hipersupefícies da variação, respectivamente. É bem conhecido que hipersupefícies com fronteira livre possuem curvatura média constante. Neste trabalho estudamos hipersuperfíce com fronteira livre em domínios convexos limitados do espaço euclidiano. Mais especificamente, expomos com detalhes os resultados obtidos por A. Ros-E. Vergasta e I. Nunes. Provamos como resultado principal que toda superfícies de fronteira livre estável na bola unitária do espaço euclidiano tridimensional é um disco totalmente geodésico ou uma calota esférica.

Neste trabalho, sobre a luz da álgebra comutativa, estudaremos reduções de um ideal, tal conceito foi introduzido por Northcott and Rees. Em um primeiro momento, daremos noções preliminares sobre teoria de dimensão, polinômio de Hilbert, polinômio de Hilbert-Samuel, regularidade de módulos e elementos superficiais. Na sequência discutiremos o tema principal da dissertação, no qual falaremos de fecho integral de um ideal, redução e a álgebra de Rees, além disso, estabeleceremos conexões entre esses conceitos. Por fim, discutiremos algumas aplicações na teoria de multiplicidade e polinômio de Hilbert-Samuel, no qual será apresentado alguns resultados recentes.

Esta dissertação tem por objetivo o estudo da aljava de módulos r-inclinantes sobre uma álgebra de Artin A para se obter informações sobre o diagrama de Hasse do conjunto parcialmente ordenado de módulos r-inclinantes e sobre determinados vértices e caminhos da aljava de módulos r-inclinantes, como idealizado por Happel e Unger.

A positividade do operador Laplaciano permite a definição de sua raiz quadrada e esta se relaciona diretamente ao problema de extensão harmônica no semi-espaço superior, como o operador que leva a condição de contorno de Derichlet à condição de Neumann. Neste trabalho, baseado nos resultados desenvolvidos por Caffarelli e Silvestre em 2008, obtemos caractezização semelhante para o operador Laplaciano Fracionário. Além disso, aplicamos a caracterização referida ao estudo de existência de solução não-trivial da equação de Schrödinger fracionária não-linear.

O objetivo deste trabalho consiste em expor os resultados obtidos em quatro artigos. De forma geral, estes artigos fazem um estudo da geometria de variedades riemannianas tridimensionais que possuem superfícies compactas que localmente minimizam área. Tais superfícies podem ser homeomorfas à esfera, ao plano projetivo, ao toro ou à superfícies hiperbólicas. Cai e Galloway consideram o caso em que a superfície é um toro de dois lados e mostram que neste caso a variedade é plana em uma vizinhança da superfície, desde que sua curvatura escalar seja não negativa. Nos outros casos, Bray-Brendle-Eichmair-Neves, Bray-Brendle-Neves e Nunes obtiveram desigualdades envolvendo a curvatura escalar da variedade, a área da supefície e sua característica de Euler. Além disso, eles caracterizaram a variedade no caso em que ocorre a igualdade.

Iniciamos esta dissertação fazendo uma revisão sobre alguns resultados clássicos da teoria de Semigrupos de Operadores Lineares em espaços de Banach. Posteriormente, utilizamos as técnicas desenvolvidas por Brezis e Cazenave para analisar a existência e unicidade de solução clássica para a equação do calor não-linear sobre domínios limitados do Rn no caso onde o dado inicial está em um espaço Lq, sobre algumas condições no expoente q.

As noções de pontos umbílicos e linhas de curvatura principal são tradicionalmente estudadas em superfícies do R^3. Nosso objetivo é estender essas noções para superfícies imersas em R^4. Para isto, analisaremos a imagem da segunda forma fundamental, restrita ao círculo unitário, no plano normal da superfície. Mostraremos que tal imagem é uma elipse, chamada elipse de curvatura. Os pontos onde a elipse de curvatura se degenera em um círculo são chamados pontos axiumbílicos e as linhas correspondentes ao eixo maior da elipse são chamadas linhas axiais principais. Neste trabalho descreveremos a estrutura das linhas axiais principais de imersões de superfície em R^4 na vizinhança de pontos axiumbílicos genéricos.

Discutimos alguns critérios de regularidade para uma solução fraca do sistema de equações tridimensionais de fluido Magneto-micropolar. Além disso, mostramos que é possível estender, para este mesmo sistema, alguns resultados recentes obtidos para as equações de Navier-Stokes. Em ordem a citar um exemplo, provamos que uma solução fraca $(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{b})(t)$ definida em $[0,T]$ é suave em $\mathbb{R}^3\times(0,T)$ se esta satisfaz a condição $\partial_3 u_3, \partial_3 \mathbf{w}, \partial_3 \mathbf{b} \in L^{\infty}(0,T;L^2(\mathbb{R}^3))$.

Nesta dissertação, forneceremos condições necessárias para que uma solução de equilíbrio assintoticamente estável de uma equação diferencial ordinária autônoma e não linear seja globalmente estável. Uma das condições essenciais consiste numa generalização dos critérios de Bendixson e Dulac para equações diferenciais bidimensionais que é usada para garantir a inexistência de órbitas periódicas, o qual denominamos critério de Bendixson. Forneceremos um novo critério de Bendixson robusto sobre uma C1 perturbação local que juntamente com o Princípio da Estabilidade Global garante a estabilidade global de um equilíbrio assintoticamente estável. Usaremos este critério no estudo do comportamento assintótico de um modelo epidemiológico intitulado SEIR.

Nesta dissertação apresentaremos uma classe de parametrizações projetivas que se assemelham aos mapas clássicos de Jonquières e teremos como objetivos mostrar as principais propriedades do seu ideal base, tais como a estrutura das sizígias e a apresentação livre desse ideal, consequentemente obteremos a equação implícita que define a sua imagem, bem como explicitar a fórmula do grau dessa equação. Por fim, determinaremos as equações da álgebra de Rees associada ao ideal base da parametrização, com o uso de métodos computacionais. Tal parametrização, denominada parametrização de Jonquières, é construída a partir de uma Cremona e define um mapa birracional de P^n em uma hipersuperfcie W de P^{n+1}.

Nesta dissertação, fazemos um estudo na teoria de estabilidade em soluçõesde equilbrios de sistemas Hamiltonianos autônomos, com dois graus de liberdadee em casos degenerados. O primeiro caso a ser estudado é quando a matriz linearizada associada a função de Hamiltona tem somente dois autovalores nulos e os demais imaginarios puros (caso de uma frequência nula ou, simplesmente, ressonância de primeira ordem). Em seguida, o caso de todas as frequências nulas. Apos abordarmos algoritmos de normalizacão da parte quadratica do Hamiltoniano, a tecnica principal utilizada consiste em obter a forma normal de Lie doHamiltoniano ate uma ordem adequada e usando o teorema da Curva Invariante, fornecemos algumas condicões para estabilidade a partir dos coecientes do novoHamiltoniano. Estudamos os teoremas classicos de Chetaev, supondo que a origemdo espaco de fase corresponde ao equilbrio desse sistema. Como ilustraçãodos resultados desenvolvidos neste trabalho, resolvemos uma recproca parcial doteorema de Dirichlet-Lagrange, com dois graus de liberdade, tecendo ainda alguns comentarios a respeito desta recíproca para um grau de liberdade.

Esta dissertação tem como objetivo principal a obtenção da forma normal e caracterização da estabilidade de soluções de equilíbrios de Sistemas Reversíveis com ressonância de segunda ordem. Condições necessárias e suficientes para estabilidade são obtidas, tanto no caso em que o sistema linearizado é diagonalizável quanto no caso não-diagonalizável, utilizando a forma normal do sistema até termos de terceira ordem.

Uma definição de ponto simples de uma variedade algébrica V de dimenão r é dada por meio de ideais maximais não ramificados. Desta, recaímos em três caracterizações de um ponto simples: I) em termos do maximal associado ao ponto ser componente isolada de um ideal cuja quantidade de geradores coincide com a dimensão da variedade (sistema de parâmetros); II) Existência de uma uniformização local proveniente da existência de uma imersão do anel de coordenadas no anel de sèries de potÊncias formais gerados pelo sistema de parâmetros; III) o k-espaço vetorial M_p/M_p^2 ter posto r. Por meio destas caracterizações obtemos importantes informação do conjunto dos pontos singulares Sing V de uma variedade algébrica.

Diferentes tipos de problemas envolvendo equac~oes diferenciais tem como objeto de pes-quisa as soluc~oes periodicas. De posse de tais soluc~oes pode-se estudar estabilidade e
denir mapas de Poincare numa vizinhanca dessas mesmas, aumentando assim as possi-bilidades de se descobrir um pouco mais sobre a din^amica de tais problemas. Diante deste
importante objeto de pesquisa, este trabalho tem por objetivo estudar o metodo da conti-nuac~ao analtica devido a Poincare para obter orbitas periodicas de uma perturbac~ao pla-nar do problema de Kepler. Com base no paper de Vidal [1], nesta dissertac~ao estudamos
a continuac~ao planar de uma orbita circular do problema de Kepler. Ainda investigamos
as diculdades envolvidas em se obter uma continuac~ao planar de uma orbita elptica do
problema de Kepler.

Esta dissertação tem como objetivo o estudo da teoria de funtores derivados com enfase no Ext. Inicialmente trabalhamos com as denições de modulos livres, projetivos e injetivos, além de suas resoluções. Passamos pelo estudo de complexos e homologia, o qual foi essencial no desenvolvimento de nosso trabalho. Definimos mapas de complexos, mapas induzidos e o fundamental homomorfismo conexão, que foi muito importante para criarmos a sequência exata longa na homologia. Finalmente, abordamos os funtores derivados e suas aplicações como Tor e Ext.

Nesta dissertação apresentamos algumas denições e resultados usados na algebra homologica, comecando com a unicidade de uma resolução mnima livre de um modulo sobre um anel local. Entre as denições apresentadas está a de profundidade de um ideal que foi introduzida por Rees em seu artigo de 1956 "A theorem of homological algebra". Nas décadas seguintes, a noção de profundidade tornou-se uma ferramenta de grande signicado para a álgebra homologica, propiciando
o desenvolvimento de uma série de novas áreas de estudo. A teoria abordada em seguida, junto com a teoria dos ideais de Fitting, dara base para a demonstração de um criterio de exatidão de complexos. Por fim usaremos este critério para provar uma versão do teorema de Hilbert-Burch.

Nesta dissertação, fazemos um estudo da estabilidade forte de Sitemas Hamiltonianos Lineares Periódicos por meio do índice de rotação e do índice generalizado. Mostraremos que o conjuntos de todos os sistemas Hamiltonianos fortemente estável com o mesmo índice de rotação tem estrutura topológica de uma região (aberto e conexo por caminhos). Daremos uma condição necessária e suficiente para estabilidade forte via propriedades da função índice.

O problema dos $n$ corpos, bem como seus casos específicos de $2$ e $3$ corpos e ainda subcasos deste último são bastante estudados a fim de aplicar seus resultados à diversas áreas do conhecimento. Neste trabalho faremos uma breve abordagem sobre o cálculo variacional e estudaremos os minimizantes que são soluções para o problema desde que não hajam colisões. Também serão feitas algumas considerações sobre análise funcional e formulações do problema dos 3 corpos. Faremos então, a abordagem do problema de 3 corpos, no caso onde a solução é espacial com uma das partículas movendo-se sobre o plano invariável e as outras duas, de massas iguais, movendo-se simetricamente em relação a este plano.