Banca de DEFESA: IRIS GRASIELE CARDOSO PINTO
17/02/2021 12:42
Dentre as inúmeras formas de representar os números reais, tratamos neste trabalho de uma das mais utilizadas, as frações contı́nuas. Inicialmente, trazemos alguns conceitos básicos e classificamo-as em frações contı́nuas finitas ou infinitas. Definimos e indicamos como calcular o n-ésimo convergente, demonstrando algumas de suas propriedades. Dentre elas, mostramos que a sequência dos convergentes de ı́ndice par é decrescente e a dos ı́ndices ı́mpares é crescente, o que garante que a distância entre convergentes consecutivos tenda a zero. Fato que faz com que a sequência dos convergentes configure uma sequência de Cauchy. Em seguida demonstramos que a sequência dos denominadores dos convergentes é estritamente crescente. Apresentamos as relações entre números racionais e números irracionais com frações contı́nuas finitas e infinitas, respectivamente. Fazemos uso, ainda, das propriedades de seus convergentes para trazer significado aos números reais, em especial aos números irracionais. Definimos frações contı́nuas infinitas periódicas. Demonstramos que todo número irracional associado a uma fração contı́nua infinita periódica é raiz de uma equação de segundo grau com coeficientes inteiros. Além disso, analisamos as raı́zes de tais equações e verificamos que uma é o simétrico do inverso da outra.
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